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Calcolo del centro di massa - con esempi
Il calcolo del centro di massa è un passo importante in molti compiti dell’ingegneria meccanica e nella progettazione di macchine e componenti. Il centro di massa indica dove si concentra il peso di un corpo e permette quindi di determinare le forze e i momenti nel sistema. Questo articolo esplora i fondamenti del calcolo del centro di massa e fornisce alcuni esempi reali.
Cos’è il centro di massa?
Il centro di massa o baricentro è il punto in cui si concentra l’intero peso di un corpo. È determinato dalla posizione di tutte le singole masse all’interno del sistema e dalle loro distanze dal punto di origine.
Il centro di massa è il “punto di attacco” della gravità. L’oggetto si comporta come una massa puntiforme nel campo gravitazionale.
Importante: il centro di massa può anche trovarsi all’esterno del corpo. Ad esempio, sui gusci emisferici. Una coppia è inefficace se esercitata al baricentro.
Per i corpi omogenei (cioè con densità uguale in ogni punto) il centro di massa corrisponde al baricentro geometrico (centro di volume): questi corpi sono chiamati masse individuali banali. Il baricentro dei corpi omogenei è quindi più facile da determinare.
L’opposto dei corpi omogenei sono i cosiddetti corpi disomogenei, che hanno densità diverse nelle sezioni del corpo. Non possono essere considerate masse singole. Tali corpi devono essere divisi in singole masse adeguate, calcolate individualmente e infine riconciliate nell’intero sistema.
Il calcolo del centro di massa è importante in molte applicazioni ingegneristiche.
Un esempio è la progettazione di una macchina e dei suoi componenti: in questo caso, il baricentro dei componenti deve essere selezionato in modo tale che la macchina nel suo complesso sia stabile e sicura e i suoi componenti siano adeguatamente “bilanciati”.
Metodi per il calcolo del centro di massa
Esistono diversi metodi per determinare il centro di massa a seconda della geometria e di come la massa (densità) è distribuita nel sistema.
- Su corpi omogenei, il centro di volume può essere scelto come baricentro, a condizione che tutte le densità siano distribuite uniformemente.
- Per i corpi disomogenei, il centro di massa deve essere determinato tenendo conto di tutte le densità dei punti.
In generale, il baricentro può essere calcolato come la somma di tutte le sotto-masse, moltiplicata per le rispettive distanze dall’origine, divisa per la massa totale. Il corpo è suddiviso in un numero finito di sotto-quantità.
I moderni programmi CAD o FEM (metodo degli elementi finiti) offrono tali metodi di calcolo del centro di massa come funzionalità standard.
centro di massa e centro di volume
Il centro del volume non tiene conto della massa o della densità del corpo. Il centro di volume è quindi un caso speciale del centro di massa, data la densità uniformemente distribuita nell’oggetto.
Il calcolo del centro di massa può essere semplificato per i corpi omogenei.
Sforzo e utilità dei calcoli
Una divisione adeguata delle masse individuali non è sempre banale, soprattutto per densità distribuite in modo non uniforme. Tali problemi possono essere risolti con il calcolo e la sperimentazione. La precisione del risultato dovrebbe dipendere dalla profondità di calcolo possibile o dalla precisione della misurazione. I risultati possono essere solo approssimativi, quindi è necessario valutare lo sforzo e i benefici.
centro di massa per corpi omogenei
Per corpi omogenei come un parallelepipedo o un cilindro, il baricentro può essere facilmente determinato mediante considerazioni geometriche.
In questo caso è possibile utilizzare le simmetrie per semplificare il problema.
Il centro di massa corrisponde al centro geometrico di gravità ed è facile da calcolare. In questo esempio, il centro di massa è contemporaneamente il centro dell’area circolare e l’area proiettata del rettangolo.
centro di massa per oggetti di forma irregolare o disomogenei
Per gli oggetti di forma irregolare, è necessario considerare ogni punto (densità dei punti) singolarmente e calcolare il suo contributo alla massa totale.
Questo approccio è anche chiamato integrazione.
Poliedro con densità distribuita uniformemente
Il baricentro geometrico del corpo viene calcolato suddividendo il corpo in parti adeguate. I baricentri di questi corpi parziali vengono calcolati e quindi ponderati rispetto alla proporzione dell’area o del volume.
Il baricentro geometrico è il centro di massa.
Poliedro con densità distribuita in modo non uniforme
Il baricentro geometrico del corpo con densità distribuita in modo non uniforme è identico a quello del corpo con densità distribuita in modo uniforme.
Il baricentro geometrico non si trova al centro della massa.
Il corpo deve essere suddiviso in corpi parziali adatti e i loro singoli baricentri devono essere determinati in base alla forma e alla densità distribuita in modo non uniforme.
Il centro di massa è calcolato a partire dai corpi parziali, tenendo conto del volume e delle masse
(x_s,y_s,z_s) = \frac{1}{M}\sum_i(x_{si}, y_{si}, z_{si})\cdot m_i
- M - Massa totale
- mi - Massa parziale
- (xsi, ysi, zsi) - coordinate del baricentro del corpo parziale 1 nel sistema di coordinate fisso nello spazio (x, y, z)
- (xs, ys, zs) - coordinate del baricentro dell’intero oggetto nel sistema di coordinate fisso nello spazio (x, y, z)
Formula esplicita del centro di massa
Se si eseguono scomposizioni progressivamente più piccole, i volumi parziali o le masse parziali “si avvicinano allo zero”. Di conseguenza, la formula di approssimazione di cui sopra viene convertita in un integrale.
Il baricentro può quindi essere determinato con estrema precisione:
x_s=\frac{1}{M}\int \int_V \int \rho (x,y,z)xdV
y_s=\frac{1}{M}\int \int_V \int \rho (x,y,z)ydV
z_s=\frac{1}{M}\int \int_V \int \rho (x,y,z)zdV
- M - Massa totale
- p(x, y, z) - Densità locale del materiale
- V - Volume del componente
centro di massa dei sistemi composti
I sistemi composti sono costituiti da diversi corpi singoli interconnessi, ciascuno con il proprio baricentro.
Per trovare il baricentro comune di tutti i sotto-oggetti, ciascuno di questi punti deve essere pesato con la sua massa corrispondente.
Esempio di calcolo: Baricentro combinato di 2 sottosistemi
Un sistema composto da due sottosistemi distinti è combinato in un baricentro combinato.
x_s=\frac{x_{s1}\times m_1+x_{s2}\times m_2}{m_1+m_2}
y_s=\frac{y_{s1}\times m_1+y_{s2}\times m_2}{m_1+m_2}
z_s=\frac{z_{s1}\times m_1+z_{s2}\times m_2}{m_1+m_2}
- m1 - Massa del corpo parziale 1
- (xs1, ys1, zs1) - coordinate del baricentro del corpo parziale 1 nel sistema di coordinate fisso nello spazio (x, y, z)
- m2 - Massa del corpo parziale 2
- (xs2, ys2, zs2) - coordinate del baricentro del corpo parziale 1 nel sistema di coordinate fisso nello spazio (x, y, z)
- (xs, ys, zs) - coordinate del baricentro dell’intero oggetto nel sistema di coordinate fisso nello spazio (x, y, z)
Determinazione del centro di massa in modo sperimentale
Il centro di massa può essere determinato anche in modo sperimentale. I metodi sperimentali di misurazione presentano alcuni vantaggi rispetto ai calcoli puramente teorici:
- Sono indipendenti dal modello materiale,
- considerano automaticamente tutte le fonti di errore,
- forniscono una misurazione diretta che non dipende da ipotesi o stime.
Metodo di oscillazione
Il metodo di oscillazione si basa sul principio di oscillazione armonica. Ciò comporta la sospensione di un oggetto su un filo sottile e la sua oscillazione. La velocità angolare può essere calcolata misurando la durata del periodo. La velocità angolare può quindi essere utilizzata per determinare la distanza tra il punto di sospensione e il centro di massa.
| Vantaggi: |
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| Svantaggi: |
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Metodo della bilancia
Questo metodo colloca l’oggetto da esaminare su una bilancia a piattaforma e ne misura il peso. La stessa procedura viene poi eseguita con un secondo peso per misurare la distanza tra i due punti. Moltiplicando la forza peso per la distanza si ottiene un’equazione del momento per determinare il centro di massa.
| Vantaggi: |
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| Svantaggi: |
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Metodo di inclinazione
Il metodo di inclinazione si basa sul principio della stabilità statica. L’oggetto da esaminare viene posto su una superficie piana e viene testata la sua inclinazione spostando dei pesi in diverse posizioni. Il centro di massa può essere determinato anche determinando la linea del centro gravitazionale.
| Vantaggi: |
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| Svantaggi: |
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